Matemática básica Ejemplos

$200000 = 100000 {(1 + \frac{8}{100})}^{n}$

Paso 1

Reescribe la ecuación como $100000 {(1 + \frac{8}{100})}^{n} = 200000$ .

$100000 {(1 + \frac{8}{100})}^{n} = 200000$

Paso 2

Simplifica.

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Paso 2.1

Reduce la expresión $\frac{8}{100}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 2.1.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$100000 {(1 + \frac{4 (2)}{100})}^{n} = 200000$

Paso 2.1.2

Factoriza $4$ de $100$ .

$100000 {(1 + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 25})}^{n} = 200000$

Paso 2.1.3

Cancela el factor común.

$100000 {(1 + \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 25})}^{n} = 200000$

Paso 2.1.4

Reescribe la expresión.

$100000 {(1 + \frac{2}{25})}^{n} = 200000$

Paso 2.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$100000 {(\frac{25}{25} + \frac{2}{25})}^{n} = 200000$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$100000 {(\frac{25 + 2}{25})}^{n} = 200000$

Paso 2.4

Suma $25$ y $2$ .

$100000 {(\frac{27}{25})}^{n} = 200000$

Paso 3

Divide cada término en $100000 {(\frac{27}{25})}^{n} = 200000$ por $100000$ y simplifica.

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Paso 3.1

Divide cada término en $100000 {(\frac{27}{25})}^{n} = 200000$ por $100000$ .

$\frac{100000 {(\frac{27}{25})}^{n}}{100000} = \frac{200000}{100000}$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Cancela el factor común de $100000$ .

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Paso 3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{100000 {(\frac{27}{25})}^{n}}{100000} = \frac{200000}{100000}$

Paso 3.2.1.2

Divide ${(\frac{27}{25})}^{n}$ por $1$ .

${(\frac{27}{25})}^{n} = \frac{200000}{100000}$

Paso 3.2.2

Aplica la regla del producto a $\frac{27}{25}$ .

$\frac{27^{n}}{25^{n}} = \frac{200000}{100000}$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Divide $200000$ por $100000$ .

$\frac{27^{n}}{25^{n}} = 2$

Paso 4

Multiplica ambos lados por $25^{n}$ .

$\frac{27^{n}}{25^{n}} \cdot 25^{n} = 2 \cdot 25^{n}$

Paso 5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.1

Cancela el factor común de $25^{n}$ .

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Paso 5.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27^{n}}{25^{n}} \cdot 25^{n} = 2 \cdot 25^{n}$

Paso 5.1.2

Reescribe la expresión.

$27^{n} = 2 \cdot 25^{n}$

Paso 6

Resuelve $n$

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Paso 6.1

Resta el logaritmo de ambos lados de la ecuación.

$\ln (27^{n}) = \ln (2 \cdot 25^{n})$

Paso 6.2

Expande $\ln (27^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (27) = \ln (2 \cdot 25^{n})$

Paso 6.3

Reescribe $\ln (2 \cdot 25^{n})$ como $\ln (2) + \ln (25^{n})$ .

$n \ln (27) = \ln (2) + \ln (25^{n})$

Paso 6.4

Expande $\ln (25^{n})$ ; para ello, mueve $n$ fuera del logaritmo.

$n \ln (27) = \ln (2) + n \ln (25)$

Paso 6.5

Resuelve la ecuación en $n$ .

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Paso 6.5.1

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$n \ln (27) - \ln (2) - n \ln (25) = 0$

Paso 6.5.2

Suma $\ln (2)$ a ambos lados de la ecuación.

$n \ln (27) - n \ln (25) = \ln (2)$

Paso 6.5.3

Factoriza $n$ de $n \ln (27) - n \ln (25)$ .

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Paso 6.5.3.1

Factoriza $n$ de $n \ln (27)$ .

$n (\ln (27)) - n \ln (25) = \ln (2)$

Paso 6.5.3.2

Factoriza $n$ de $- n \ln (25)$ .

$n (\ln (27)) + n (- 1 \ln (25)) = \ln (2)$

Paso 6.5.3.3

Factoriza $n$ de $n (\ln (27)) + n (- 1 \ln (25))$ .

$n (\ln (27) - 1 \ln (25)) = \ln (2)$

Paso 6.5.4

Reescribe $- 1 \ln (25)$ como $- \ln (25)$ .

$n (\ln (27) - \ln (25)) = \ln (2)$

Paso 6.5.5

Divide cada término en $n (\ln (27) - \ln (25)) = \ln (2)$ por $\ln (27) - \ln (25)$ y simplifica.

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Paso 6.5.5.1

Divide cada término en $n (\ln (27) - \ln (25)) = \ln (2)$ por $\ln (27) - \ln (25)$ .

$\frac{n (\ln (27) - \ln (25))}{\ln (27) - \ln (25)} = \frac{\ln (2)}{\ln (27) - \ln (25)}$

Paso 6.5.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.5.5.2.1

Cancela el factor común de $\ln (27) - \ln (25)$ .

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Paso 6.5.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{n (\ln (27) - \ln (25))}{\ln (27) - \ln (25)} = \frac{\ln (2)}{\ln (27) - \ln (25)}$

Paso 6.5.5.2.1.2

Divide $n$ por $1$ .

$n = \frac{\ln (2)}{\ln (27) - \ln (25)}$

Paso 7

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$n = \frac{\ln (2)}{\ln (27) - \ln (25)}$

Forma decimal:

$n = 9.00646834 \dots$